Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，值域?yàn)锽，如果存在函數(shù)x=g（t），使得函數(shù)y=f（g（t））的值域仍然是B，那么，稱函數(shù)x=g（t）是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)Γ變換．
（1）判斷函數(shù)x=t²-2t+3，t∈R是不是f（x）=2x+b，x∈R，的一個(gè)Γ變換？說明你的理由；
（2）設(shè)f（x）=log₂x的值域B=[1，3]，已知x=g（t）=

mt2-3t+n

t2+1

是y=f（x）的一個(gè)Γ變換，且函數(shù)f（g（t））的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m，n的值；
（3）設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，值域?yàn)锽，函數(shù)g（t）的定義域?yàn)镈₁，值域?yàn)锽₁，寫出x=g（t）是y=f（x）的一個(gè)Γ變換的充分非必要條件（不必證明）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,函數(shù)的定義域及其求法

專題：新定義

分析：（1）換件整理x=t²-2t+3，求得t的范圍，進(jìn)而求得f（g（t））的范圍，最后判斷是否符合題設(shè)定義．
（2）利用f（x）的值域，求得定義域，根據(jù)x的表達(dá)式，和t值域建立不等式，利用存在t₁，t₂∈R使兩個(gè)等號分別成立，求得m和n．
（3）設(shè)出函數(shù)的定義域和值域，利用條件的不必要性的一個(gè)例子確定B的范圍，確定f（g（t））的值域，最后寫出x=g（t）是y=f（x）的一個(gè)Γ變換的充分非必要條件（

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2x+b，x∈R，f（x）的值域?yàn)镽，
x=t²-2t+3=（t-1）²+2≥2，
y=f（g（t））=2[（（t-1）²+2]+b≥4+b，
所以，x=g（t）不是f（x）的一個(gè)Γ變換；    
（2）f（x）=log₂x的值域?yàn)閇1，3]，由1≤log₂x≤3知2≤x≤8，
即f（x）=log₂x定義義域?yàn)閇2，8]，
因?yàn)閤=g（x）是f（x）的一個(gè)Γ變換，且函數(shù)f（g（t））的定義域?yàn)镽，
所以，x=g（t）=

mt2-3t+n

t2+1

，t∈R的值域?yàn)閇2，8]，
則2≤

mt2-3t+n

t2+1

≤8，
∴2（t²+1）≤mt²-3t+n≤8（t²+1），
所以，恒有

(m-2)t2-3t+n-2≥0 (m-8)t2-3t+n-8≤0

，且存在t₁，t₂∈R使兩個(gè)等號分別成立，
于是

2＜m＜8 △1=9-4(m-2)(n-2)=0 △2=9-4(m-8)(n-8)=0

，解得

m=5+ 3 3 2 n=5- 3 3 2

或

m=5- 3 3 2 n=5+ 3 3 2

，
（3）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，值域?yàn)锽，函數(shù)g（t）的定義域?yàn)镈₁，值域?yàn)锽₁，則x=g（t）是f（x）的一個(gè)Γ變換的充分非必要條件是“D=B₁”． 條件的不必要性的一個(gè)例子是．f（x）=x²，
∵D=R，B為[0，+∞]，
 g（t）=2^t-1，D₁=R，B₁=（-1，+∞），
此時(shí)D?B₁，但f（g（t））=（2^t-1）²的值域仍為B[0，+∞]，
即g（t）=2^t-1x∈R，x∈R是f（x）=x²，（x∈R）的一個(gè)等值域變換．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)值域的問題，利用已知條件演繹推理的能力和運(yùn)算能力．