Question

試做一個上端開口的圓柱形容器，它的凈容積為V，壁厚為a（包括側壁和底部），其中V和a均為常數．問容器內壁半徑為多少時，所用的材料最少？

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數的概念及應用

分析：設容器內壁的半徑為x（x＞0），容器的高為h，構造函數f（x）=π（x+a）²a+π（x+a）²h-V．利用導數確定函數的最值，從而求出容器內壁半徑為

3	V π

時，所用的材料最少．

解答： 解：設容器內壁的半徑為x（x＞0），容器的高為h，
則h=

V

πx2

．
∴所用材料f（x）=底部所用材料=側壁所用材料
=π（x+a）²a+π（x+a）²h-V．
∴f′(x)=2πa(x+a)-2aV(

1

x2

+

1

a2

)
=

2aπ(x+a)

x3

(x3-

3	V π

)(x2+

3	V π

x+(

3	V π

)2)
令f′（x）=0得，x=

3	V π

．
∴函數在x=

3	V π

處取得最小值．
∴容器內壁半徑為

3	V π

時，所用的材料最少．

點評：本題考查利用導數求函數最值，構造函數解決實際問題等知識，屬于中檔題．