Question

15．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足x²f'（x）+1＞0，f（1）=6，則不等式f（lgx）＜$\frac{1}{lgx}$+5的解集為（　�。�

• A． （$\sqrt{10}$，0）
• B． （0，10）
• C． （10，+∞）
• D． （1，10）

Answer 1

分析 轉(zhuǎn)化已知條件，通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，求解不等式的解集即可．

解答 解：定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足x²f'（x）+1＞0，
可得：f'（x）+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{x}$-5，則g′（x）=f′（x）$+\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，所以g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∵f（1）=6，∴g（1）=0，故g（x）＜0的解集為：（0，1）．即f（x）＜$\frac{1}{x}$+5的解集為（0，1），由0＜lgx＜1，
可得1＜x＜10．
所求不等式的解集為：（1，10）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，解題的難點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．