Question

已知平面上兩點(diǎn)A（-1，0），B（0，0），P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，若(

PA

-

2

PB

)•(

PA

+

2

PB

)=0．
（1）問(wèn)點(diǎn)P在什么曲線上？并求出該曲線方程．
（2）若C、D兩點(diǎn)在點(diǎn)P的軌跡上，若

BC

+λ

BD

=(1+λ)

BA

，求的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）用坐標(biāo)表示向量，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，化簡(jiǎn)整理可得曲線及方程；
（2）利用

BC

+λ

BD

=(1+λ)

BA

，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，再結(jié)合圓的方程門禁卡求得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），∵A（-1，0），B（0，0），
∴

PA

=(-1-x，-y)，

PB

=(-1-x，-y)
由(

PA

-

2

PB

)•(

PA

+

2

PB

)=0得，

PA

2=2

PB

2，即（x+1）²+y²=2x²+2y²，
化簡(jiǎn)整理得（x-1）²+y²=2，
∴點(diǎn)P在以（1，0）為圓心，

2

為半徑的圓上，方程為（x-1）²+y²=2．------------------------（4分）
（2）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
∵

BC

+λ

BD

=(1+λ)

BA

，
∴

x1+λx2=-(1+λ) y1+λy2=0

，∴

x1=-λx2-(1+λ) y1=-λy2

①，
∵點(diǎn)C（x₁，y₁）在圓上，∴(x1-1)2+y12=2②，
將①代入②得，[λ(x2-1)+，
化簡(jiǎn)整理得（λ+1）（2λx₂+λ+1）=0，即λ=-1或2λx₂+λ+1=0．
由2λx₂+λ+1=0得x2=-

1+λ

2λ

，
又∵1-

2

≤x2≤1+

2

，∴1-

2

≤-

1+λ

2λ

≤1+

2

，
∴-2

2

-3≤λ≤2

2

-3．-----------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．