Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差大于0，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n=（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，設數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，證明：T_n＜1．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用根與系數(shù)之間的關系先求出a₂，a₅的值，然后聯(lián)立方程求公差和首項，求出數(shù)列{a_n}的通項公式，利用b_n與S_n的關系求{b_n}的通項公式．
（2）先求出c_n=a_n•b_n的通項公式，利用錯位相減法求出數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，然后證明不等式．
解答：解：（1）因為a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根且等差數(shù)列{a_n}的公差大于0，
所以解得a₂=3，a₅=9，所以公差，所以a_n=a₂+（n-2）d=2n-1．
當n=1時，，解得，
當n≥2時，，
所以，所以數(shù)列{b_n}是以b₁為首項，公比的等比數(shù)列，
所以．
（2）由（1）知，，則數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，
則  ①
 ②
①-②得
=，
整理得，因為n∈N^•，所以，
故．
點評：本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式，以及利用錯位相減法求數(shù)列前n項和問題，要求熟練掌握錯位相減法．