Question

5．邊長為整數(shù)，且面積等于周長的直角三角形一共有幾個？

Answer 1

分析 設(shè)兩條直角邊為a，b，斜邊為c，從而可得a²+b²=c²，$\frac{1}{2}$ab=a+b+c，從而化簡可得（a-4）（b-4）=8，從而解得．

解答 解：設(shè)兩條直角邊為a，b，斜邊為c，
則面積S=$\frac{1}{2}$ab，周長l=a+b+c，a²+b²=c²；
又∵2ab=（a+b）²-（a²+b²）=（a+b）²-c²=（a+b+c）（a+b-c）
∴$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{4}$（a+b+c）（a+b-c），
∵$\frac{1}{2}$ab=a+b+c，
∴（a+b+c）（a+b-c）/4=a+b+c
∴$\frac{1}{4}$（a+b-c）=1，
∴a+b-c=4，
∴a²+b²=c²=（a+b-4）²=a²+b²+16-8a-8b+2ab
∴16-8a-8b+2ab=0，
即ab-4a-4b+8=0，
即（a-4）（b-4）=8，
又∵邊長為整數(shù)，
∴a-4=1，2，4，8，-1，-2，-4，-8
∴a=5，6，8，12，0，2，0，-4
又∵a＞0，
∴a=5，6，8，12，2，
∴b=12，8，6，5，0，
又∵a，b，c都是整數(shù)，
∴有兩種直角三角形，
分別是6，8，10和5，12，13；
故邊長為整數(shù)，且面積等于周長的直角三角形一共有2個．

點評 本題考查了直角三角形的性質(zhì)與完全平方式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．