如圖所示,點P為斜三棱柱ABC-A1B1C1的側棱BB1上一點,PM⊥BB1交AA1于點M,PN⊥BB1交CC1于點N.

(1)求證:CC1⊥MN;

(2)在任意△DEF中有余弦定理:DE2=DF2+EF2-2DF·EFcos∠DFE.拓展到空間,類比三角形的余弦定理,寫出斜三棱柱的三個側面面積與其中兩個側面所成的二面角之間的關系式,并加以證明.

答案:
解析:

  證明:(1)∵CC1∥BB1,∴CC1⊥PM,CC1⊥PN.

  ∴CC1⊥平面PMN.∴CC1⊥MN.

  (2)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,有

  ,其中α為側面AA1B1B與側面CC1B1B成的二面角.

  在△PMN中,MN2=PM2+PN2-2PM·PNcosα,

  兩邊同乘以側棱長BB12即可得到結論.

  思路分析:本題通過類比將平面內(nèi)余弦定理擴展到空間.


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科目:高中數(shù)學 來源:全優(yōu)設計選修數(shù)學-2-2蘇教版 蘇教版 題型:044

如圖所示,點P為斜三棱柱ABC-A1B1C1的側棱BB1上一點,PM⊥BB1交AA1于點M,PN⊥BB1交CC1于點N.

(1)求證:CC1⊥MN;

(2)在任意△DEF中有余弦定理DE2=DF2+EF2-2DF·EFcosDEF.拓展到空間,類比三角形的余弦定理,寫出斜三棱柱的三個側面面積與其中兩個側面所成的二面角之間的關系式,并予以證明.

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