Question

如圖，棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱．
（I）若P為線段A₁B的中點(diǎn)，求證CP⊥AB；
（II）若A₁B⊥AC₁，求二面角A₁-AC₁-B的大�。�

Answer 1

【答案】分析：解法一：（I）證明線面垂直，利用三垂線定理，可得線線垂直；
（II）過(guò)AB=a，AA₁=b，過(guò)B作BE⊥AC于E，過(guò)E作EF⊥AC₁于F，連接BF，可得∠HFE為二面角B-AC₁-C的平面角，利用余弦定理可求二面角A₁-AC₁-B的大��；
解法二：（I）取AB中點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，證明=0即可；
（II）求出平面A₁AC₁的一個(gè)法向量、平面BAC₁的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．
解答：解法一：
（I）證明：取AB的中點(diǎn)O，連接PO、CO，…（1分）
∵棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱形，P是A₁B的中點(diǎn)，∴O是AB的中點(diǎn)，∴PO∥A₁A…（2分）
∴PO⊥平面ABC，∴CO是CP在平面ABC內(nèi)的射影，
∵CO⊥AB．…（4分）∴CP⊥AB．…（5分）
（II）解：過(guò)AB=a，AA₁=b，過(guò)B作BE⊥AC于E，則BE⊥平面A₁C，
過(guò)E作EF⊥AC₁于F，連接BF，則BF⊥AC₁，∴∠HFE為二面角B-AC₁-C的平面角．…（7分）
在△ABC中，，延長(zhǎng)CA到D，使CA=AD，連接A₁D，則A₁D∥C₁A
∵A₁B⊥AC₁，∴A₁D⊥A₁B，
在，
在△BAD中，由DA=BA=A，∠BAD=120°得BD²=a²+a²-2a•a•cos120°=2a²+a²=3a²，
在，∴3a²=2（a²+b²），∴，…（9分）
由Rt△AFE∽R(shí)t△ACC₁得，，∴…（11分）
二面角A₁-AC₁-B的大小為π-arctan3．…（12分）
解法二：取AB中點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=2a，AA₁=h，則，…（1分）
（I）
∵，∴…（5分）
（II）解：，
∵，∴a•2a+0-h²=0，∴…（7分）
則，
設(shè)平面A₁AC₁的一個(gè)法向量為=（x，y，z），則
∴得平面A₁AC₁的一個(gè)法向量為…（8分）
又，
同理得平面BAC₁的一個(gè)法向量為…（9分）
∴，…（11分）
∴二面角A₁-AC₁-B的大小為．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，線線垂直，考查面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．