Question

如圖，多面體ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，正方形ADEF的邊長(zhǎng)為2，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=2，CD=4．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）試在平面CDE上確定點(diǎn)P，欲使點(diǎn)P到直線DC、DE的距離相等，且AP與平面BEF所成的角等于30°．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證BC⊥平面BDE，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證BC與平面BDE內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知ED⊥平面ABCD，則ED⊥BC，根據(jù)勾股定理可知BC⊥BD，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）DE，DA，DC兩兩垂直，以D為頂點(diǎn)，DA，DC，DE分別為x軸y軸z軸，建立直角坐標(biāo)系D-xyz，求出D，A，E，B，F(xiàn)，以及

EF

，

EB

，設(shè)P（o，y，z）通過(guò)|y|=|z|．設(shè)

n

=(x′，y′，z′)是平面BEF的法向量，利用

n • EF =0 n • EB =0

，求出

n

，推出

AP

與

n

所成的角為60°或120°．通過(guò)cos＜

AP

，

n

＞=

AP • n

| AP ||  n |

和y|=|z|．求出P的坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）在正方形ADEF中，ED⊥AD．
又因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD．
所以ED⊥BC．（3分）
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得BC=

2

．
在△BCD中，BD=BC=

2

，CD=2，
所以BD²+BC²=CD²．
所以BC⊥BD．（5分）
所以BC⊥平面BDE．（6分）
（Ⅱ）DE，DA，DC兩兩垂直，以D為頂點(diǎn)，DA，DC，DE分別為x軸y軸z軸，建立直角坐標(biāo)系D-xyz，
則D（0，0，0），A（2，0，0），E（0，0，2），B（2，2，0），F(xiàn)（2，0，2）

EF

=（2，0，0），

EB

=(2，2，-2)設(shè)P（o，y，z）則|y|=|z|．
令

n

=(x′，y′，z′)是平面BEF的法向量，則

n • EF =0 n • EB =0

，
∴

2x′=0 2x′+2y′-2z′=0

令y′=1，得

x′=0 y′=1 z′=1

∴

n

=(0，1，1)
∵AP與平面BEF所成的角等于30°
∴

AP

與

n

所成的角為60°或120°．
∴cos＜

AP

，

n

＞=

AP • n

| AP ||  n |

=

|y+z|

4+y2+z2• 2

=

1

2

．
∴y²+z²+4yz-4=0
又∵|y|=|z|．
∴y=z或y=-z，當(dāng)y=z時(shí)y=z=±

6

3

，
當(dāng)y=-z時(shí)，上式無(wú)解，
∴P（0，

6

3

，

6

3

），或P（0，-

6

3

，-

6

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直，直線與平面所成的角，空間向量的運(yùn)算，考查空間想象能力，計(jì)算能力已經(jīng)邏輯推理能力．