如圖,在組合體中,ABCD—A1B1C1D1是一個(gè)長方體,P—ABCD是一個(gè)四棱錐.AB=2,BC=3,點(diǎn)P平面CC1D1D,且PC=PD=.
(1)證明:PD平面PBC;
(2)求PA與平面ABCD所成的角的正切值;
(3)若,當(dāng)a為何值時(shí),PC//平面.
(1)先證,再證,根據(jù)線面垂直的判定定理可證結(jié)論
(2)(3)當(dāng)時(shí),
或建立空間直角坐標(biāo)系可以用空間向量解決
【解析】
試題分析:方法一:(1)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070511501324346326/SYS201307051150428870444854_DA.files/image006.png">,,
所以為等腰直角三角形,所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070511501324346326/SYS201307051150428870444854_DA.files/image009.png">是一個(gè)長方體,所以,
而,所以,所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070511501324346326/SYS201307051150428870444854_DA.files/image013.png">垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線和,
由線面垂直的判定定理,可得.
(2)過點(diǎn)在平面作于,連接.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070511501324346326/SYS201307051150428870444854_DA.files/image024.png">,所以,
所以就是與平面所成的角.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070511501324346326/SYS201307051150428870444854_DA.files/image029.png">,,所以.
所以與平面所成的角的正切值為.
(3)當(dāng)時(shí),.
當(dāng)時(shí),四邊形是一個(gè)正方形,所以,
而,所以,所以.
而,與在同一個(gè)平面內(nèi),所以.
而,所以,所以.
方法二:(1)證明:如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)棱長,
則有,,,.
于是,,,
所以,.
所以垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線和,
由線面垂直的判定定理,可得.
(2)解:,所以,而平面的一個(gè)法向量為.
所以.所以與平面所成的角的正切值為.
(3)解:,所以,.
設(shè)平面的法向量為,則有,
令,可得平面的一個(gè)法向量為.
若要使得,則要,即,解得.
所以當(dāng)時(shí),.
考點(diǎn):本小題主要考查線面垂直的證明,線面角的求解,和線面平行的判定和證明,考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力.
點(diǎn)評:解決空間中直線、平面間的位置關(guān)系,要緊扣相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理,求線面角時(shí),要注意先作再證再求,要注意線面角的取值范圍.
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