Question

如圖，在組合體中，ABCD—A₁B₁C₁D₁是一個(gè)長方體，P—ABCD是一個(gè)四棱錐．AB=2，BC=3，點(diǎn)P平面CC₁D₁D，且PC=PD=．

（1）證明：PD平面PBC；

（2）求PA與平面ABCD所成的角的正切值；

（3）若，當(dāng)a為何值時(shí)，PC//平面．

 

Answer 1

【答案】

（1）先證，再證，根據(jù)線面垂直的判定定理可證結(jié)論

（2）（3）當(dāng)時(shí)，

或建立空間直角坐標(biāo)系可以用空間向量解決

【解析】

試題分析：方法一：(1)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070511501324346326/SYS201307051150428870444854_DA.files/image006.png">，，

所以為等腰直角三角形，所以． 

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070511501324346326/SYS201307051150428870444854_DA.files/image009.png">是一個(gè)長方體，所以，

而，所以，所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070511501324346326/SYS201307051150428870444854_DA.files/image013.png">垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線和，

由線面垂直的判定定理，可得．

(2)過點(diǎn)在平面作于，連接．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070511501324346326/SYS201307051150428870444854_DA.files/image024.png">，所以，

所以就是與平面所成的角．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070511501324346326/SYS201307051150428870444854_DA.files/image029.png">，，所以．    

所以與平面所成的角的正切值為．          

(3)當(dāng)時(shí)，．           

當(dāng)時(shí)，四邊形是一個(gè)正方形，所以，

而，所以，所以． 

而，與在同一個(gè)平面內(nèi)，所以． 

而，所以，所以．

方法二：(1)證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長，

則有，，，．                            

于是，，，

所以，．

所以垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線和，

由線面垂直的判定定理，可得．   

(2)解：，所以，而平面的一個(gè)法向量為．

所以．所以與平面所成的角的正切值為． 

(3)解：，所以，．

設(shè)平面的法向量為，則有，

令，可得平面的一個(gè)法向量為．  

若要使得，則要，即，解得．

所以當(dāng)時(shí)，．

考點(diǎn)：本小題主要考查線面垂直的證明，線面角的求解，和線面平行的判定和證明，考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評：解決空間中直線、平面間的位置關(guān)系，要緊扣相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理，求線面角時(shí)，要注意先作再證再求，要注意線面角的取值范圍.