Question

已知f（x）為二次函數(shù)，且f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）判斷函數(shù)g（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上的單調(diào)性，并證之．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）據(jù)二次函數(shù)的形式設(shè)出f（x）的解析式，將已知條件代入，列出方程，令方程兩邊的對(duì)應(yīng)系數(shù)相等解得f（x）的表達(dá)式；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，可得g（x）的解析式，利用作差法，可證明其單調(diào)性．．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由條件得：
a（x+1）²+b（x+1）+c+a（x-1）²+b（x-1）+c=2x²-4x，
從而

2a=2 2b=4 2a+2c=0

，
解得：

a=1 b=2 c=-1

，]
所以f（x）=x²-2x-1；…（6分）
（2）函數(shù)g（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上單調(diào)遞增．理由如下：
g（x）=

f(x)

x

=x-

1

x

-2，
設(shè)設(shè)任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則g（x₁）-g（x₂）=x1-

1

x1

-2-（x2-

1

x2

-2）=（x₁-x₂）（1+

1

x1x2

），
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，1+

1

x1x2

＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，
即g（x₁）＜g（x₂），
所以函數(shù)g（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上單調(diào)遞增．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：題考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)模型已知的函數(shù)解析式，函數(shù)單調(diào)性的判定與證明，難度中檔．