Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+2ln（x+1），其中a為實數(shù)．
（1）若f（x）在x=1處有極值，求a的值；
（2）若f（x）在[2，3]上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）計算因為f（x）在x=1處有極值所以f′（1）=2a+1=0可解
（2）解法一由f（x）在[2，3]上是增函數(shù)得在[2，3]上恒成立，利用分離參數(shù)，設x∈[2，3]求函數(shù)的最大值即可．
解法二依題意得fn（x）＞0對x∈[2，3]恒成立，即恒成立即ax²+ax+1＞0對x∈[2，3]恒成立轉化為二次函數(shù)的問題．
解答：解：（1）由已知得f（x）的定義域為（-1，+∞）
又
∴由題意得f′（1）=2a+1=0
∴
（2）解法一：依題意得f′（x）＞0對x∈[2，3]恒成立，∴
∴
∵x∈[2，3]，∴的最小值為
∴的最大值為
又因時符合題意∴為所求
解法二：依題意得fn（x）＞0對x∈[2，3]恒成立，∴即
∵1+x＞0，
∴ax²+ax+1＞0對x∈[2，3]恒成立
令g（x）=ax²+ax+1
（1）當a=0時，1＞0恒成立
（2）當a＜0時，拋物線g（x）開口向下，可得g（x）_min=g（3）＞0
即9a+3a+1≥0，∴（
（3）當a＞0時，拋物線g（x）開口向上，可得g（x）_min=g（2）＞0
即4a+2a+1＞0，
∴，即a＞0
又因時符合題意
綜上可得為所求
點評：了解可導函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件（導數(shù)在極值點兩側異號）．會用導數(shù)判斷函數(shù)單調性、求單調區(qū)間與極值．．