Question

由于衛(wèi)生的要求游泳池要經(jīng)常換水（進(jìn)一些干凈的水同時(shí)放掉一些臟水），游泳池的水深經(jīng)常變化，已知泰州某浴場(chǎng)的水深y（米）是時(shí)間t（0≤t≤24），（單位小時(shí)）的函數(shù)，記作y=f（t），下表是某日各時(shí)的水深數(shù)據(jù)經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)的曲線y=f（t）可近似地看成函數(shù)y=Acosωt+b

t（時(shí)）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	2 5	2 0	15	20	249	2	151	199	2 5

（Ⅰ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y=Acosωt+b的最小正周期T，振幅A及函數(shù)表達(dá)式；
（Ⅱ）依據(jù)規(guī)定，當(dāng)水深大于2米時(shí)才對(duì)游泳愛(ài)好者開(kāi)放，請(qǐng)依據(jù)（1）的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8：00至晚上20：00之間，有多少時(shí)間可供游泳愛(ài)好者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)．

Answer 1

分析：（1）由表中的周期可求ω，再利用兩個(gè)特殊點(diǎn)可求A=0.5，b=2，，所以可求函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=

1

2

cos

π

6

t+2．
（2）水深大于2米時(shí)才對(duì)游泳愛(ài)好者開(kāi)放，

1

2

cos

π

6

t+2＞2，可得-12kπ-3＜t＜12kπ+3，由0≤t≤24，，從而可求時(shí)間．

解答：解：（1）由表中數(shù)據(jù)，知T=12，ω=

2π

T

=

π

6

由t=0，y=2.5得A+b=2.5
由t=3，y=2，得b=2，所以，A=0.5，b=2振幅A=

1

2

，∴y=

1

2

cos

π

6

t+2…．（8分）
（2）由題意知，當(dāng)y＞2時(shí)，才可對(duì)沖浪者開(kāi)放，∴

1

2

cos

π

6

t+2＞2，cos

π

6

t＞0，∴-2kπ-

π

2

＜

π

6

t＜2kπ+

π

2

，
即有-12kπ-3＜t＜12kπ+3，由0≤t≤24，故可令k=0，1，2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21≤t≤24…1．（4分）
∴在規(guī)定時(shí)間內(nèi)有6個(gè)小時(shí)可供游泳愛(ài)好者運(yùn)動(dòng)即上午9 00至下午15 00…．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)模型的運(yùn)用，涉及不等式的求解，屬于中檔題．