Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

x³-（1+a）x²+4ax+24a，其中常數(shù)a＞1．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）先求出f′（x），分別解f′（x）＞0，f′（x）＜0，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）分別求出f（x）的極大值，極小值，由題設(shè)知

a＞1 f(2)=28a- 4 3 ＜0

或 

a＞1 f(2a)=- 4 3 a3+4a2+24a＞0

，解出即可．

解答： 解：（I）f′（x）=（x-2）（x-2a），
由a＞1知，f′（x）＞0?x＜2或x＞2a；
f′（x）＜0?2＜x＜2a；
綜上知，當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，2）和（2a，+∞），遞增區(qū)間為（2，2a）．
（II）由（I）知，當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取得極大值f(2)=28a-

4

3

． 
當(dāng)x=2a時(shí)，f（x）取得極小值f(2a)=-

4

3

a3+4a2+24a．  
由題設(shè)知

a＞1 f(2)=28a- 4 3 ＜0

或 

a＞1 f(2a)=- 4 3 a3+4a2+24a＞0

解得 1＜a＜6，故a的取值范圍是（1，6）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．