Question

3．設(shè)二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），f（1）=0，且1≤x≤3時(shí)，f（x）≤0恒成立，f（x）是區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若|f（m）|=|f（n）|，且m＜n＜2，u=m+n，求u的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知f（1）=0，可得c=-b-1，f（x）=x²+bx-b-1=（x-1）（x+b+1），利用1≤x≤3時(shí)，f（x）≤0恒成立，f（x）是區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)，求出b．即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若|f（m）|=|f（n）|，且m＜n＜2，f（m）=-f（n），可得（m-2）²+（n-2）²=2（m＜n＜2），u=m+n，即可求u的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由已知f（1）≥0與f（1）≤0同時(shí)成立，則必有f（1）=0，故b+c+1=0．
∴c=-b-1，
∴f（x）=x²+bx-b-1=（x-1）（x+b+1），
∵1≤x≤3時(shí)，f（x）≤0恒成立，
∴-b-1≥3，
∴b≤-4，
∵f（x）是區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)，
∴-$\frac{2}$≤2，
∴b≥-4，
∴b=-4，c=3，
∴f（x）=x²-4x+3；
（Ⅱ）∵f（x）=x²-4x+3，
∴函數(shù)在（-∞，2）上單調(diào)遞減，
∵|f（m）|=|f（n）|，且m＜n＜2，
∴f（m）=-f（n），
∴m²-4m+3=-n²+4n-3，
∴（m-2）²+（n-2）²=2（m＜n＜2）
u=m+n與圓弧相切時(shí)，切點(diǎn)為（1，1），u=2，
直線過點(diǎn)（2，2-$\sqrt{2}$）時(shí)，u=4-$\sqrt{2}$，
∴u的取值范圍是[2，4-$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的解析式，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．