Question

17．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+b²的最小值為0，若關(guān)于x的不等式f（x）＜c的解集為（t，t+4），則實數(shù)c的值為4．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的值域求出a與b的關(guān)系，然后根據(jù)不等式的解集可得f（x）=c的兩個根為mt，t+4，最后利用根與系數(shù)的關(guān)系建立等式，解之即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²-2ax+b²的最小值為0，
∴$\frac{4^{2}-4{a}^{2}}{4}$=0，∴b²=a²，
∵不等式f（x）＜c的解集為（t，t+4），
即為（x-a）²＜c解集為（t，t+4），
則（x-a）²=c的兩個根為t，t+4，
∴|t+4-t|=2$\sqrt{c}$，
解得c=4，
故答案為：4．

點評 本題主要考查了一元二次不等式的應(yīng)用，以及根與系數(shù)的關(guān)系，同時考查了分析求解的能力和計算能力，屬于中檔題．