Question

已知數(shù)列{a_n}，對(duì)于任意n∈N^*，有S_n=2ⁿ-1，則a₁²+a₂²+…+a_n²=（　�。�

• A、（2ⁿ-1）²
• B、

  1

  2

  （2ⁿ-1）²
• C、

  1

  3

  （4ⁿ-1）
• D、

  1

  2

  （3ⁿ-1）

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用a_n=S_n-S_n-1=2^n-1，結(jié)合a₁=S₁=1，判定出{a_n}，{a_n²}為等比數(shù)列，利用求和公式計(jì)算化簡(jiǎn)．

解答： 解：a₁=S₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2 ^n-1=2^n-1，當(dāng)n=1時(shí)也適合，所以
a_n=2^n-1
則a_n²=4^n-1，{a_n²}是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，
所以，則a₁²+a₂²+…a_n²=

1-4n

1-4

=

1

3

（4ⁿ-1）
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的判定，通項(xiàng)公式，和的計(jì)算，考查轉(zhuǎn)化構(gòu)造，計(jì)算能力．