Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax+2（a∈R），在x=

1

2

時(shí)取得極值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若F（x）=λx²-3x+2-f（x）（λ＞0）有唯一零點(diǎn)，求λ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用在x=

1

2

時(shí)取得極值，可得f′（

1

2

）=2+a=0，即可求a的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=lnx-2x+2則F（x）=λx²-lnx-x，則F′（x）=

2λx2-x-1

x

．令F'（x）=0，2λx²-x-1=0．由此進(jìn)行分類討論，能求出λ．

解答： 解：（Ⅰ）依題意f′（x）=

1

x

+a．
因?yàn)樵趚=

1

2

時(shí)取得極值，所以f′（

1

2

）=2+a=0，則a=-2…（2分）
經(jīng)檢驗(yàn)，a=-2滿足題意．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=lnx-2x+2則F（x）=λx²-lnx-x，
則F′（x）=

2λx2-x-1

x

．
令F'（x）=0，2λx²-x-1=0．
因?yàn)棣耍?，所以△=1+8λ＞0，
方程有兩異號(hào)根設(shè)為x₁＜0，x₂＞0．
因?yàn)閤＞0，所以x₁應(yīng)舍去．
當(dāng)x∈（0，x₂）時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)（x）在（0，x₂）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）在（x₂，+∞）單調(diào)遞增．
當(dāng)x=x₂時(shí)，F(xiàn)'（x₂）=0，F(xiàn)（x）取最小值F（x₂）．…（9分）
因?yàn)镕（x）=0有唯一解，所以F（x₂）=0，
則

λx22-lnx2-x2=0 2λx22-x2-1=0

因?yàn)棣耍?，所以2lnx₂+x₂-1=0（*）
設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，
h（x）是增函數(shù)，所以h（x）=0至多有一解．
因?yàn)閔（1）=0，所以方程（*）的解為x₂=1，
代入方程組解得λ=1．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、零點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．