Question

設(shè)向量

a

=(

3

sinx，sinx)，

b

=(cosx，sinx)，其中x∈(0，

π

2

)．
（Ⅰ）若

a

∥

b

，求x的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=（

a

+

b

）•

b

，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)

a

∥

b

，利用向量平行的條件建立關(guān)于x的等式，算出sinx（

3

sinx-cosx）=0，結(jié)合x∈（0，

π

2

）可得

3

sinx=cosx，從而算出x的值；
（II）根據(jù)向量數(shù)量積計算公式與三角恒等變換，化簡得f（x）=（

a

+

b

）•

b

=sin（2x-

π

6

）+

3

2

．再根據(jù)x∈（0，

π

2

）利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以計算，可得x=

π

3

時，f（x）的最大值等于

5

2

．

解答：解：（I）∵

a

=(

3

sinx，sinx)，

b

=(cosx，sinx)，
∴由

a

∥

b

得

3

sinxsinx-cosxsinx=0，
即sinx（

3

sinx-cosx）=0．
∵x∈（0，

π

2

），
∴sinx＞0，可得

3

sinx=cosx，
∴tanx=

sinx

cosx

=

3

3

，
解得x=

π

6

；
（II）∵

a

=(

3

sinx，sinx)，

b

=(cosx，sinx)，
∴f（x）=（

a

+

b

）•

b

=（

3

sinx+cosx）cosx+2sin²x
=

3

2

sin2x+

1

2

（1+cos2x）+（1-cos2x）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+

3

2

=sin（2x-

π

6

）+

3

2

．
∵x∈（0，

π

2

），
∴2x-

π

6

∈（-

π

6

，

5π

6

），
∴sin（2x-

π

6

）∈（-

1

2

，1]，
∴f（x）∈（1，

5

2

]
當且僅當2x-

π

6

=

π

2

即x=

π

3

時，f（x）的最大值等于

5

2

．

點評：本題著重考查了向量平行的條件、向量的數(shù)量積計算公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、三角性質(zhì)變換與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．