Question

已知函數f（x）=ax²-2ax+lnx有兩個極值點x₁、x₂，且x₁•x₂＞．
（Ⅰ）求實數a的取值范圍M；
（Ⅱ）若?x∈[1+，2]，使不等式f（x）+ln（a+1）＞b（a²-1）-（a+1）+2ln2對?a∈M恒成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）對函數求導，由題意可得f′（x）=0有兩個不等式實數根x₁、x₂，且x₁•x₂＞，根據方程的根與系數關系建立關于a的不等式，從而可求a的范圍
（Ⅱ）由（I）中a的范圍可判斷f（x）在（0，x₁），（x₁，x₂），（x₂，+∞）上的單調性及，可得f（x）在[1+，2]單調性，從而可求f（x）_max=f（2），由已知整理可得不等式ln（a+1）-ba²-a+b-ln2+1＞0對任意的a（1＜a＜2）恒成立．通過研究函數g（a）=ln（a+1）-ba²-a+b-ln2+1的單調性可求
解答：解：（Ⅰ）對函數求導可得，=（x＞0），…（2分）
令f′（x）=0可得ax²-2ax+1=0
∴，即，…（4分）
解得a的取值范圍M=（1，2）．                     …（6分）
（Ⅱ）由ax²-2ax+1=0，解得，
而f（x）在（0，x₁）上遞增，在（x₁，x₂）上遞減，在（x₂，+∞）上遞增
∵1＜a＜2，
∴
∴f（x）在[1+，2]單調遞增
∴在[1+，2]上，f（x）_max=f（2）=-2a+ln2．    …（7分）
∴?x∈[1+，2]，使不等式f（x）+ln（a+1）＞b（a²-1）-（a+1）+2ln2對?a∈M恒成立，
等價于不等式-2a+ln2+ln（a+1）＞b（a²-1）-（a+1）+2ln2恒成立
即不等式ln（a+1）-ba²-a+b-ln2+1＞0對任意的a（1＜a＜2）恒成立．…（8分）
令g（a）=ln（a+1）-ba²-a+b-ln2+1，則g（1）=0．，，
①當b≥0時，＜0，g（a）在（1，2）上遞減．
g（a）＜g（1）=0，不合題意．
②當b＜0時，，
∵1＜a＜2
若-（1+＞1，即-時，則g（a）在（1，2）上先遞減，
∵g（1）=0，
∴1＜a＜2時，g（a）＞0不能恒成立；
若，即b時，則g（a）在（1，2）上單調遞增，
∴g（a）＞g（1）=0恒成立，
∴b的取值范圍為（-∞，]…（12分）
點評：本題主要考查了函數的導數的應用：函數的導數在求解函數的極值、函數的單調性及函數的最值中的應用，要注意分類討論思想及構造轉化思想的應用