Question

13．已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₅=a₂+a₃，a₁₃=13．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{2\sqrt{{a}_{n}}}$，數(shù)列{b_n}前n項和為S_n，證明：$\sqrt{{a}_{n+1}}$-1＜S_n＜$\sqrt{{a}_{n}}$．

Answer 1

分析 （1）等差數(shù)列{a_n}的公差設(shè)為d，運用等差數(shù)列的通項公式，解方程可得首項和公差，進而得到所求通項公式；
（2）求出b_n=$\frac{1}{2\sqrt{{a}_{n}}}$=$\frac{1}{2\sqrt{n}}$，由$\frac{1}{2\sqrt{n}}$＜$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，$\frac{1}{2\sqrt{n}}$＞$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，運用裂項相消求和，即可得證．

解答 解：（1）等差數(shù)列{a_n}的公差設(shè)為d，
a₅=a₂+a₃，a₁₃=13，可得
a₁+4d=2a₁+3d，a₁+12d=13，
解得a₁=d=1，
a_n=a₁+（n-1）d=n，n∈N*；
（2）證明：b_n=$\frac{1}{2\sqrt{{a}_{n}}}$=$\frac{1}{2\sqrt{n}}$，
數(shù)列{b_n}前n項和為S_n，
由$\frac{1}{2\sqrt{n}}$＜$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，
可得S_n＜1-0+$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$=$\sqrt{n}$=$\sqrt{{a}_{n}}$，
由$\frac{1}{2\sqrt{n}}$＞$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
可得S_n＞$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$=$\sqrt{n+1}$-1=$\sqrt{{a}_{n+1}}$-1，
則$\sqrt{{a}_{n+1}}$-1＜S_n＜$\sqrt{{a}_{n}}$成立．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式的運用，考查數(shù)列的求和和不等式的證明，注意運用放縮法和裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．