Question

已知變量a，θ∈R，則（a-2cosθ）²+（a-5

2

-2sinθ）²的最小值為

9

．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)A（a，a-5

2

）、B（2cosθ，2sinθ），易知本題即求|AB|² 的最小值．點(diǎn)A在直線L：x-y-5

2

=0上，點(diǎn)B在圓C：x²+y²=4 上，先求出圓心到直線的距離d，可得|AB|的最小值d-r，從而得到|AB|² 的最小值．

解答：解：可設(shè)點(diǎn)A（a，a-5

2

）、B（2cosθ，2sinθ），易知本題即求|AB|² 的最小值．
由于點(diǎn)A在直線L：x-y-5

2

=0上，點(diǎn)B在圓C：x²+y²=4 上．
數(shù)形結(jié)合可知，由圓心O（0，0）向直線L作垂線，|AB|的最小值就是夾在圓與直線間的部分．
由于圓心到直線的距離d=

|0-0-5 2 |

2

=5，|AB|min=d-r=3，
∴|AB|² 的最小值為9，
故答案為 9．

點(diǎn)評：本題主要考查直線和愿的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．