Question

7．已知函數(shù)f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x-1}$（a＞0，且a≠1）的圖象關(guān)于原點對稱．
（1）求m的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性；
（3）解不等式：f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，便知該函數(shù)為奇函數(shù)，從而f（-x）=-f（x），這樣可得到$lo{g}_{a}\frac{1+mx}{-x-1}=lo{g}_{a}\frac{x-1}{1-mx}$，可解出m=±1，根據(jù)真數(shù)大于0可得出a=-1；
（2）先寫出$f（x）=lo{g}_{a}（1+\frac{2}{x-1}）$，根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)任意的x₁＞x₂＞1，然后對真數(shù)作差，經(jīng)通分可得出：$1+\frac{2}{{x}_{1}-1}＜1+\frac{2}{{x}_{2}-1}$，從而討論a：0＜a＜1，和a＞1，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性從而判斷出f（x₁）與f（x₂）的關(guān)系，從而判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）寫出f（x）=$lo{g}_{a}\frac{1+x}{x-1}$，討論a的取值：分0＜a＜1，和a＞1兩種情況，然后根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出關(guān)于x的分式不等式，解分式不等式即得原不等式的解集．

解答 解：（1）根據(jù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱知，f（x）為奇函數(shù)；
∴f（-x）=-f（x）；
即$lo{g}_{a}\frac{1+mx}{-x-1}=-lo{g}_{a}\frac{1-mx}{x-1}=lo{g}_{a}\frac{x-1}{1-mx}$；
∴$\frac{1+mx}{-x-1}=\frac{x-1}{1-mx}$；
∴1-m²x²=1-x²；
∴m²=1；
∵$\frac{1-mx}{x-1}＞0$；
∴m=-1；
（2）$f（x）=lo{g}_{a}\frac{1+x}{x-1}$=$lo{g}_{a}（1+\frac{2}{x-1}）$，設(shè)x₁＞x₂＞1，則：
$1+\frac{2}{{x}_{1}-1}-（1+\frac{2}{{x}_{2}-1}）=\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$；
∵x₁＞x₂＞1；
∴x₂-x₁＜0，x₁-1＞0，x₂-1＞0；
∴$1+\frac{2}{{x}_{1}-1}＜1+\frac{2}{{x}_{2}-1}$；
∴①0＜a＜1時，f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)；
②a＞1時，f（x₁）＜f（x₂），f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）$f（x）=lo{g}_{a}\frac{1+x}{x-1}$；
①若0＜a＜1，y=log_ax為減函數(shù)，由f（x）＞0得：
$lo{g}_{a}\frac{1+x}{x-1}＞lo{g}_{a}1$；
$0＜\frac{1+x}{x-1}＜1$；
解得x＜-1；
∴原不等式的解集為（-∞，-1）；
②若a＞1，y=log_ax為增函數(shù)，由f（x）＞0得：
$lo{g}_{a}\frac{1+x}{x-1}＞lo{g}_{a}1$；
∴$\frac{1+x}{x-1}＞1$；
解得x＞1；
∴原不等式的解集為（1，+∞）．

點評 考查奇函數(shù)圖象的對稱性，奇函數(shù)的定義，對數(shù)的真數(shù)大于0，函數(shù)單調(diào)性的定義，根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個函數(shù)單調(diào)性的方法，對于對數(shù)型函數(shù)，可對x₁，x₂對應(yīng)真數(shù)值進行比較，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及解分式不等式．