【題目】已知菱形 ABCD 中,對角線 AC 與 BD 相交于一點 O,∠A=60°,將△BDC 沿著 BD 折起得△BDC',連結 AC'.
(Ⅰ)求證:平面 AOC'⊥平面 ABD;
(Ⅱ)若點 C'在平面 ABD 上的投影恰好是△ABD 的重心,求直線 CD 與底面 ADC'所成角的正弦值.
【答案】解:(Ⅰ)∵C′O⊥DB,AO⊥BD,C′O∩AO=O,∴BD⊥面 AOC',
又BD平面 ABD,∴平面 AOC'⊥平面 ABD.
(Ⅱ)如圖建立空間直角坐標系O﹣xyz,
令AB=a,則A( ,0,0).
B(0, ,0),D(0,﹣ ,0),C′( ),
設面ADC'的法向量為
, ,
由 可取
∴直線 CD 與底面 ADC'所成角的正弦值為:
【解析】(Ⅰ)只需證明C′O⊥DB,AO⊥BD,C′O∩AO=O,BD⊥面 AOC',即可得平面 AOC'⊥平面 ABD;
(Ⅱ)如圖建立空間直角坐標系O﹣xyz,令AB=a,則A(,0,0),B(0, ,0),D(0,﹣ ,0),C′( , 0 , ),利用向量法求解。
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某港口水的深度y(m)是時間t(0≤t≤24,單位:h)的函數(shù),記作y=f(t).下面是某日水深的數(shù)據(jù):
t/h | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
y/m | 10 | 13 | 10 | 7 | 10 | 13 | 10 | 7 | 10 |
經(jīng)長期觀察,y=f(t)的曲線可以近似地看成函數(shù)的圖象.一般情況下,船舶航行時,船底離海底的距離為5m或5m以上時認為是安全的(船舶?繒r,船底只需不碰海底即可).
(1)求y與t滿足的函數(shù)關系式;
(2)某船吃水深度(船底離水面的距離)為6.5m,如果該船希望在同—天內(nèi)安全進出港,請問該船在什么時間段能夠安全進港?它同一天內(nèi)最多能在港內(nèi)停留多少小時?(忽略進 出港所需的時間).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】袋內(nèi)裝有6個球,每個球上都記有從1到6的一個號碼,設號碼為n的球重克,這些球等可能地從袋里取出(不受重量、號碼的影響).
(1)如果任意取出1個球,求其重量大于號碼數(shù)的概率;
(2)如果不放回地任意取出2個球,求它們重量相等的概率.
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【題目】已知函數(shù) f(x)=2sin2ωx+2sinωxcosωx﹣1(ω>0)的周期為π.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在上的值域.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小王、小張兩位同學玩投擲正四面體(每個面都為等邊三角形的正三棱錐)骰子(骰子質地均勻,各面上的點數(shù)分別為)游戲,規(guī)則:小王現(xiàn)擲一枚骰子,向下的點數(shù)記為,小張后擲一枚骰子,向下的點數(shù)記為,
(1)在直角坐標系中,以為坐標的點共有幾個?試求點落在直線上的概率;
(2)規(guī)定:若,則小王贏,若,則小張贏,其他情況不分輸贏,試問這個游戲公平嗎?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知△ABC的外接圓半徑為1,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2acos A=ccos B+bcos C.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若b2+c2=7,求△ABC的面積.
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【題目】設函數(shù)f(x)= ,g(x)=a(x+b)(0<a≤1,b≤0).
(1)討論函數(shù)y=f(x)g(x)的奇偶性;
(2)當b=0時,判斷函數(shù)y= 在(﹣1,1)上的單調性,并說明理由;
(3)設h(x)=|af2(x)﹣ |,若h(x)的最大值為2,求a+b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,橢圓E: (a>b>0)過點( ,1),且與直線 x+2y﹣4=0相切.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若橢圓E與x軸交于M、N兩點,橢圓E內(nèi)部的動點P使|PM|、|PO|、|PN|成等比數(shù)列,求 的取值范圍.
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