Question

已知集合S_n={X|X=(x₁，x₂，…，x_n)，x_i∈{0，1}，i=1，2，…，n}(n≥2)，對于A=(a₁，a₂，…，a_n)，B=(b₁，b₂，…，b_n)∈S_n，定義A與B的差為A-B=(|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，…，|a_n-b_n|)；A與B之間的距離為d(A，B)=，
(Ⅰ)當n=5時，設(shè)A=(0，1，0，0，1)，B=(1，1，1，0，0)，求A-B，d(A，B) ；
(Ⅱ)證明：A，B，C∈S_n，有A-B∈S_n，且d(A-C，B-C)=d(A，B)；
(Ⅲ)證明：A，B，C∈S_n，d(A，B)，d(A，C)，d(B，C) 三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)．

Answer 1

解：(Ⅰ)A-B=(|0-1|，|1-1|，|0-1|，|0-0|，|1-0|)=(1，0，1，0，1)，
d(A，B)=|0-1|+|1-1|+|0-1|+|0-0|+|1-0|=3.
(Ⅱ)證明：設(shè)A=(a₁，a₂，…，a_n)，B=(b₁，b₂，…，b_n)，C=(c₁，c₂，…，c_n)∈S_n，
因為a_i，b_i∈{0，1}，
所以|a_i-b_i|∈{0，1}(i=1，2，…，n)．
從而A-B=(|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，…，|a_n-b_n|)∈S_n，
又d(A-C，B-C)=||a_i-c_i|-|b_i-c_i||，
由題意知a_i，b_i，c_i∈{0，1}（i=1，2，…，n），
當c_i=0時，||a_i-c_i|-|b_i-c_i||=|a_i-b_i|；
當c_i=1時，||a_i-c_i|-|b_i-c_i||=|(1-a_i)-(1-b_i)|=|a_i-b_i|，
所以d(A-C，B-C)=。
(Ⅲ)證明：設(shè)A=(a₁，a₂，…，a_n)，B=(b₁，b₂，…，b_n)，C=(c₁，c₂，…，c_n)∈S_n，
d(A，B)=k，d(A，C)=l，d(B，C)=h，
記O=(0，0，…，0)∈Sn，
由(Ⅱ)可知d(A，B)=d(A-A，B-A)=d(0，B-A)=k，
d(A，C)=d(A-A，C-A)=d(0，C-A)=l，
d(B，C)=d(B-A，C-A)=h，
所以|b_i-a_i|(i=1，2，…，n)中1的個數(shù)為k，|c_i-a_i|(i=1，2，…，n)中1的個數(shù)為l，
設(shè)t是使|b_i-a_i|=|c_i-a_i|=1成立的i的個數(shù)，則h=l+k-2t，
由此可知，k，l，h三個數(shù)不可能都是奇數(shù)，
即d(A，B)，d(A，C)，d(B，C)三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)．