Question

9．已知雙曲線過點（-1，0），離心率為2，過雙曲線的左焦點F₁作傾斜角為$\frac{π}{4}$的弦AB．求△F₂AB的周長．

Answer 1

分析 運用離心率公式和a，b，c 的關系，求得雙曲線方程，設出直線AB的方程，聯(lián)立雙曲線方程，求出A，B的坐標，由兩點的距離，即可得到△F₂AB的周長．

解答 解：設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
由題意可得a=1，e=$\frac{c}{a}$=2，即c=2，
b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
過左焦點F₁（-2，0）作傾斜角為$\frac{π}{4}$的弦AB，
設方程為y=x+2，
代入雙曲線方程可得，2x²-4x-7=0，
解得x=1±$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
可得A（1+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，3+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），B（1-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，3-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），F(xiàn)₂（2，0），
則有△F₂AB的周長為|AB|+|AF₂|+|BF₂|=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$+$\sqrt{（1-\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}+（3+\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}$
+$\sqrt{（1+\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}+（3-\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=6+$\sqrt{19+6\sqrt{2}}$+$\sqrt{19-6\sqrt{2}}$，
可令$\sqrt{19+6\sqrt{2}}$+$\sqrt{19-6\sqrt{2}}$=t，則t²=38+2$\sqrt{1{9}^{2}-36×2}$=72，
即有△F₂AB的周長為6+6$\sqrt{2}$

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的離心率和方程的運用，聯(lián)立直線方程，求得交點，考查運算求解能力，屬于中檔題．