Question

4．直角坐標系中曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4cosθ\\ y=2sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)）．
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）經(jīng)過點M（2，1）作直線l交曲線C于A，B兩點，若M恰好為線段AB的三等分點，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）變形曲線C的參數(shù)方程可得$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=\frac{x}{4}}\\{sinθ=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系消參數(shù)可得；
（2）設直線l的傾斜角為θ，可得直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosθ}\\{y=1+tsinθ}\end{array}\right.$，代入曲線C的直角坐標方程可得t的二次方程，由韋達定理和t₁=-2t₂可得斜率k的方程，解方程可得．

解答 解：（1）變形曲線C的參數(shù)方程可得$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=\frac{x}{4}}\\{sinθ=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，
∵cos²θ+sin²θ=1，
∴曲線C的直角坐標方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）設直線l的傾斜角為θ，
可得直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosθ}\\{y=1+tsinθ}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
代入曲線C的直角坐標方程并整理得（cos²θ+4sin²θ）t²+（4cosθ+8sinθ）t-8=0
由韋達定理可得t₁+t₂=-$\frac{4cosθ+8sinθ}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$，t₁t₂=$\frac{-8}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$
由題意可知t₁=-2t₂，代入上式得12sin²θ+16sinθcosθ+3cos²θ=0，
即12k²+16k+3=0，解方程可得直線的斜率為k=$\frac{-4±\sqrt{7}}{6}$

點評 本題考查參數(shù)方程和普通方程的關(guān)系，涉及三角函數(shù)的韋達定理，屬中檔題．