Question

10．已知函數(shù)f（x）=xe^ax+lnx-e（a∈R），設g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-e，若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個交點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 令f（x）=g（x）化簡得a=$\frac{-2lnx}{x}$，求出右側函數(shù)的單調性和極值，得出a的范圍．

解答 解：令f（x）=g（x）得xe^ax=$\frac{1}{x}$，即e^ax=$\frac{1}{{x}^{2}}$，∴a=$\frac{-2lnx}{x}$，
令h（x）=$\frac{-2lnx}{x}$，則h′（x）=$\frac{2lnx-2}{{x}^{2}}$，
∴當0＜x＜e時，h′（x）＜0，當x＞e時，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，e）上單調遞減，在（e，+∞）上單調遞增，
∴當x=e時，h（x）取得最小值h（e）=-$\frac{2}{e}$，
且當x＞1時，h（x）＜0，
∵f（x）與g（x）的圖象有兩個交點，
∴a=h（x）有兩解，
∴-$\frac{2}{e}$＜a＜0．

點評 本題考查了函數(shù)單調性的判斷與極值計算，屬于中檔題．