Question

13．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}a{x^2}-（{2a+1}）x+2lnx（{x∈R}）$
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1），f′（3）的值，由f′（1）=f′（3）列式求得a值；
（Ⅱ）f′（x）=$ax-2a-1+\frac{2}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-（2a+1）x+2}{x}$（x＞0）．然后對a分類討論求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$ax-2a-1+\frac{2}{x}$，
f′（1）=-a+1，f′（3）=a-$\frac{1}{3}$，
由f′（1）=f′（3），得-a+1=a-$\frac{1}{3}$，
解得a=$\frac{2}{3}$；
（Ⅱ）f′（x）=$ax-2a-1+\frac{2}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-（2a+1）x+2}{x}$（x＞0）．
若a=0，f′（x）=$\frac{-x+2}{x}$．
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（0，2），減區(qū)間為（2，+∞）．
令g（x）=ax²-（2a+1）x+2．
若0＜a$＜\frac{1}{2}$，方程ax²-（2a+1）x+2=0的兩根為x₁=2，${x}_{2}=\frac{1}{a}$，且2＜$\frac{1}{a}$．
當(dāng)x∈（0，2）∪（$\frac{1}{a}$，+∞）時(shí)，g（x）＞0，即f′（x）＞0；當(dāng)x∈（2，$\frac{1}{a}$）時(shí)，g（x）＜0，即f′（x）＜0．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2），（$\frac{1}{a}$，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（2，$\frac{1}{a}$）．
若a=$\frac{1}{2}$，g（x）≥0，即f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
若a＞$\frac{1}{2}$，方程ax²-（2a+1）x+2=0的兩根為${x}_{1}=\frac{1}{a}$，x₂=2，且$\frac{1}{a}$＜2．
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{a}$）∪（2，+∞）時(shí)，g（x）＞0，即f′（x）＞0；當(dāng)x∈（$\frac{1}{a}$，2）時(shí)，g（x）＜0，即f′（x）＜0．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），（2，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，2）．
若a＜0，程ax²-（2a+1）x+2=0的兩根為${x}_{1}=\frac{1}{a}$，x₂=2，且$\frac{1}{a}$＜0．
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，g（x）＞0，即f′（x）＞0；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，g（x）＜0，即f′（x）＜0．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2）；單調(diào)減區(qū)間為（2，+∞）．
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2）；單調(diào)減區(qū)間為（2，+∞）．
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2），（$\frac{1}{a}$，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（2，$\frac{1}{a}$）．
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
當(dāng)a$＞\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），（2，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，2）．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．