Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=（1-x²）e^x．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤ax+1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．
（2）化簡(jiǎn)f（x）=（1-x）（1+x）e^x．f（x）≤ax+1，下面對(duì)a的范圍進(jìn)行討論：
①當(dāng)a≥1時(shí)，②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=e^x-x-1，則g′（x）=e^x-1＞0（x＞0），推出結(jié)論；③當(dāng)a≤0時(shí)，推出結(jié)果，然后得到a的取值范圍．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）=（1-x²）e^x，x∈R，
所以f′（x）=（1-2x-x²）e^x，
令f′（x）=0可知x=-1±$\sqrt{2}$，
當(dāng)x＜-1-$\sqrt{2}$或x＞-1+$\sqrt{2}$時(shí)f′（x）＜0，當(dāng)-1-$\sqrt{2}$＜x＜-1+$\sqrt{2}$時(shí)f′（x）＞0，
所以f（x）在（-∞，-1-$\sqrt{2}$），（-1+$\sqrt{2}$，+∞）上單調(diào)遞減，在（-1-$\sqrt{2}$，-1+$\sqrt{2}$）上單調(diào)遞增；
（2）由題可知f（x）=（1-x）（1+x）e^x．下面對(duì)a的范圍進(jìn)行討論：
①當(dāng)a≥1時(shí)，設(shè)函數(shù)h（x）=（1-x）e^x，則h′（x）=-xe^x＜0（x＞0），
因此h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
又因?yàn)閔（0）=1，所以h（x）≤1，
所以f（x）=（1-x）h（x）≤x+1≤ax+1；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=e^x-x-1，則g′（x）=e^x-1＞0（x＞0），
所以g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
又g（0）=1-0-1=0，
所以e^x≥x+1．
因?yàn)楫?dāng)0＜x＜1時(shí)f（x）＞（1-x）（1+x）²，
所以（1-x）（1+x）²-ax-1=x（1-a-x-x²），
取x₀=$\frac{\sqrt{5-4a}-1}{2}$∈（0，1），則（1-x₀）（1+x₀）²-ax₀-1=0，
所以f（x₀）＞ax₀+1，矛盾；
③當(dāng)a≤0時(shí)，取x₀=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$∈（0，1），則f（x₀）＞（1-x₀）（1+x₀）²=1≥ax₀+1，矛盾；
綜上所述，a的取值范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．