Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{ax+b}$，（a、b為常數(shù)），且函數(shù)g（x）=f（x）-x+12有兩個零點x₁=3，x₂=4．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）若k≥2，解關(guān)于x 的不等式f（x）＜$\frac{（k+1）x-k}{2-x}$．

Answer 1

分析 （I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）化簡不等式f（x）＜$\frac{（k+1）x-k}{2-x}$．通過k 的值的討論，利用不等式的解法求解即可．

解答 解：（I）把x₁=3，x₂=（4分）別代入方程$\frac{{x}^{2}}{ax+b}$-x+12=0，
得$\left\{\begin{array}{l}\frac{9}{3a+b}=-9\\ \frac{16}{4a+b}=-8\end{array}$解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=2\end{array}$，
所以f（x）=$\frac{{x}^{2}}{-x+2}$（x≠2）；
（II）不等式即為$\frac{{x}^{2}}{-x+2}$＜$\frac{（k+1）x-k}{2-x}$．可化為$\frac{{x}^{2}-（k+1）x+k}{2-x}$＜0，
即（x-2）（x-1）（x-k）＞0，
當(dāng)k=2時，不等式為（x-2）²（x-1）＞0解集為（1，2 ）∪（2，+∞），
當(dāng)k＞2 時，由穿根法解得解集為（1，2 ）∪（k，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，函數(shù)的零點判定定理的應(yīng)用，不等式的解法，考查計算能力．