Question

如果函數(shù)f（x）=滿足：對(duì)于任意的x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a²恒成立，則a的取值范圍是（ ）
A．[-]
B．[-]
C．（-]
D．（-]∪[）

Answer 1

【答案】分析：可通過(guò)導(dǎo)數(shù)求得f（x）=在x∈[0，2]上的最小值與最大值，從而可得a²≥|f（x）_最大值-f（x）_最小值|，a的取值范圍可求得．
解答：解：∵f′（x）=x²-1，
∴當(dāng)0＜x＜1，f′（x）＜0，
當(dāng)1＜x＜2，f′（x）＞0，
∴f（x）=在x=1時(shí)取到極小值，也是x∈[0，2]上的最小值，即f（x）_極小值=f（1）=-=f（x）_最小值，
又f（0）=0，f（2）=，
∴在x∈[0，2]上，f（x）_最大值=f（2）=，
∵對(duì)于任意的x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a²恒成立，
∴只需a²≥|f（x）_最大值-f（x）_最小值|=-（-）=，
∴a≥或a≤-．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，關(guān)鍵在于理解題意，轉(zhuǎn)化為求f（x）=在x∈[0，2]上的最小值與最大值，突出考查轉(zhuǎn)化思想與分析解決問(wèn)題的能力，屬于難題．