Question

6．在直角坐標(biāo)系xoy中，直角l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+tsinα}\\{y=\sqrt{5}+tcosα}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）．在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=2$\sqrt{5}$sinθ．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，$\sqrt{5}$），當(dāng)$\frac{π}{4}$≤α≤$\frac{π}{3}$時(shí)，求|PA|-|PB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化方法求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）利用參數(shù)的幾何意義，求|PA|-|PB|的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由圓C的方程為ρ=2$\sqrt{5}$sinθ，可得ρ²=2$\sqrt{5}$ρsinθ，
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2$\sqrt{5}$y；
（Ⅱ）直角l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+tsinα}\\{y=\sqrt{5}+tcosα}\end{array}\right.$，與圓C的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，
可得t²+6tsinα+4=0
設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則|PA|-|PB|=t₁+t₂=-6sinα，
∵$\frac{π}{4}$≤α≤$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sinα≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴-3$\sqrt{3}$≤-6sinα≤-3$\sqrt{2}$，
∴|PA|-|PB|的取值范圍是[-3$\sqrt{3}$，-3$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，考查參數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．