Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）上的每一點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，然后整個(gè)圖象向右平移1個(gè)單位，最后橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到曲線C₁，以射線Ox為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程是ρ=4sinθ．
（1）分別寫(xiě)出曲線C₁，C₂的普通方程；
（2）求C₁和C₂的公共弦的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）先求出變換后的C₁的參數(shù)方程，再求出對(duì)應(yīng)的普通方程，再把C₂的極坐標(biāo)方程化為普通方程即可，
（2）C₁和C₂公共弦所在直線為2x-4y+3=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式及弦長(zhǎng)公式求出公共弦長(zhǎng)．

解答 解：（1）曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）上的每一點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，
橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半得到$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，然后整個(gè)圖象向右平移1個(gè)單位得到$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα+1}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，
最后橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα+1}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$，所以，C₁為； （x-1）²+y²=4，
又C₂為ρ=4sinθ，即x²+y²=4y，
（2）C₁和C₂公共弦所在直線為2x-4y+3=0，
所以，（1，0）到2x-4y+3=0距離為$\frac{\sqrt{5}}{2}$，所以，公共弦長(zhǎng)為2$\sqrt{4-\frac{5}{4}}$=$\sqrt{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)圖象的變換，以及把極坐標(biāo)方程化為普通方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用．