【題目】已知，.

(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

(2)當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，證明:且.

【答案】(1);(2)見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算出，，即可求出切線方程；

（2）由存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，整理得方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根.令利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、最值，因?yàn)?/span>有兩個(gè)零點(diǎn)，即，得.

因?yàn)閷?shí)數(shù)，是的兩個(gè)根，所以，從而.令，，則，變形整理得.要證，則只需證，即只要證，

再構(gòu)造函數(shù)即可證明.

(1)解:∵，

∴，，

∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

(2)證明:由存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，

整理得方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根.

由，知，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.

所以.

因?yàn)?/span>有兩個(gè)零點(diǎn)，即，得.

因?yàn)閷?shí)數(shù)，是的兩個(gè)根，

所以，從而.

令，，則，變形整理得.

要證，則只需證，即只要證，

結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象可知，只需要證，兩點(diǎn)連線的斜率要比，兩點(diǎn)連線的斜率小即可.

因?yàn)?/span>，所以只要證，整理得.

令，則，

所以在上單調(diào)遞減，即，

所以成立，故成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實(shí)國家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康。經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步，農(nóng)民年收入也逐年增加。為了更好的制定2019年關(guān)于加快提升農(nóng)民年收人力爭早日脫貧的工作計(jì)劃，該地扶貧辦統(tǒng)計(jì)了2018年位農(nóng)民的年收人并制成如下頻率分布直方圖：

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)位農(nóng)民的年平均收入（單位：千元）（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示）；

（2）由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入服從正態(tài)分布，其中近似為年平均收入，近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算得.利用該正態(tài)分布，求:

(i)在2019年脫貧攻堅(jiān)工作中，若使該地區(qū)約有占總農(nóng)民人數(shù)的的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則最低年收入大約為多少千元？

（ii）為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的政策要求落實(shí)情況，扶貧辦隨機(jī)走訪了位農(nóng)民。若每個(gè)農(nóng)民的年收人相互獨(dú)立，問：這位農(nóng)民中的年收入不少于千元的人數(shù)最有可能是多少？

附：參考數(shù)據(jù)與公式

則①；②；③.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí),（i）求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若,求證: .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，設(shè)拋物線與的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過且與相切的直線交于另一點(diǎn)，過且與相切的直線交于另一點(diǎn)，記為的面積.

（Ⅰ）求的值（用表示）；

（Ⅱ）若，求的取值范圍.

注：若直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與拋物線的對稱軸不平行也不重合，則稱該直線與拋物線相切.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在古裝電視劇《知否》中，甲乙兩人進(jìn)行一種投壺比賽，比賽投中得分情況分“有初”“貫耳”“散射”“雙耳”“依竿”五種，其中“有初”算“兩籌”，“貫耳”算“四籌”，“散射”算“五籌”，“雙耳”算“六籌”，“依竿”算“十籌”，三場比賽得籌數(shù)最多者獲勝.假設(shè)甲投中“有初”的概率為，投中“貫耳”的概率為，投中“散射”的概率為，投中“雙耳”的概率為，投中“依竿”的概率為，乙的投擲水平與甲相同，且甲乙投擲相互獨(dú)立.比賽第一場，兩人平局;第二場，甲投了個(gè)“貫耳”，乙投了個(gè)“雙耳”，則三場比賽結(jié)束時(shí)，甲獲勝的概率為( )

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為，是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線斜率為，且與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，是否存在點(diǎn)，使得若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，是邊長為2的菱形，且，是矩形，，且平面平面，點(diǎn)在線段上移動(dòng)（不與重合），是的中點(diǎn).

（1）當(dāng)四面體的外接球的表面積為時(shí)，證明：.平面

（2）當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】北方的冬天戶外冰天雪地，若水管裸露在外，則管內(nèi)的水就會(huì)結(jié)冰從而凍裂水管，給用戶生活帶來不便．每年冬天來臨前，工作人員就會(huì)給裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保溫帶，用一條保溫帶盤旋而上一次包裹到位．某工作人員采用四層包裹法（除水管兩端外包裹水管的保溫帶都是四層）：如圖1所示是相鄰四層保溫帶的下邊緣輪廓線，相鄰兩條輪廓線的間距是帶寬的四分之一．設(shè)水管的直徑與保溫帶的寬度都為4cm．在圖2水管的側(cè)面展開圖中，此保溫帶的輪廓線與水管母線所成的角的余弦值是（ ）（保溫帶厚度忽略不計(jì)）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在中，，，分別為內(nèi)角，，的對邊，且滿.

（1）求的大��；

（2）再在①，②，③這三個(gè)條件中，選出兩個(gè)使唯一確定的條件補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題.若________，________，求的面積.

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同步練習(xí)冊答案