Question

4．設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k的直線l交拋物線C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，且y₁y₂=-4．
（Ⅰ）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)P（-1，k），且△PAB的面積為6$\sqrt{3}$，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)直線AB的方程為y=k（x-$\frac{p}{2}$），代入拋物線，消x，利用y₁y₂=-4，求出p，即可求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求出P到直線AB的距離，|AB|，利用S_△PAB=$\frac{1}{2}•|AB|•d$，△PAB的面積為6$\sqrt{3}$，求k的值．

解答 解：（Ⅰ）F（$\frac{p}{2}$，0），設(shè)直線AB的方程為y=k（x-$\frac{p}{2}$），…（2分）
代入拋物線，消x，得：ky²-2py-kp²=0，…（4分）
∴y₁y₂=-p²=-4，從而p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x．  …（6分）
（Ⅱ）由已知，F(xiàn)（1，0），直線AB的方程為y=k（x-1），
代入拋物線方程，消x，得ky²-4y-4k=0，
∴y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4，…（8分）
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\sqrt{\frac{16}{{k}^{2}}-4×（-4）}$=4（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）．
又∵P到直線AB的距離d=$\frac{3|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$．…（10分）
故△PAB的面積S=$\frac{1}{2}•|AB|•d$=6$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$=6．…（12分）
故得k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．