Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，P是⊙O所在平面外一點(diǎn)，PA垂直于⊙O所在平面，且PA=AB=10，設(shè)點(diǎn)C為⊙O上異于A、B的任意一點(diǎn)．

（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）若AC=6，求三棱錐C﹣PAB的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上異于A、B的任意一點(diǎn)，

∴AC⊥BC，

∵P是⊙O所在平面外一點(diǎn)，PA垂直于⊙O所在平面，BC⊙O所在平面，

∴BC⊥PA，

∵AC∩PA=A，

∴BC⊥平面PAC

（2）解：∵AC=6，PA=AB=10，

∴BC= =8，

∵PA垂直于⊙O所在平面，∴PA⊥平面ABC，

又PA平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC，

∴點(diǎn)C到AB的距離d即為點(diǎn)C到平面PAB的距離，

∵ = ，

∴d= = = ，

又S△PAB= =50，

∴三棱錐C﹣PAB的體積V= = =80

【解析】（1）由圓的性質(zhì)得AC⊥BC，由線面垂直得BC⊥PA，由此能證明BC⊥平面PAC．（2）由勾股和得BC=8，推導(dǎo)出平面PAB⊥平面ABC，從而點(diǎn)C到AB的距離d即為點(diǎn)C到平面PAB的距離，由此能求出三棱錐C﹣PAB的體積．
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面垂直的判定對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．