Question

12．討論函數(shù)f（x）=aln（x+1）+$\frac{x-1}{x+1}$，x∈（-1，+∞）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：f（x）=aln（x+1）+$\frac{x-1}{x+1}$=aln（x+1）+1-$\frac{2}{x+1}$，x∈（-1，+∞），
∴f′（x）=$\frac{a}{x+1}$+$\frac{2}{{（x+1）}^{2}}$=$\frac{ax+a+2}{{（x+1）}^{2}}$，
①a≥0時(shí)：f′（x）＞0，f（x）在（-1，+∞）單調(diào)遞增；
②-2＜a＜0時(shí)：令f′（x）＞0，解得：0＜x＜-$\frac{a+2}{a}$，令f′（x）＜0，解得：x＞-$\frac{a+2}{a}$，
∴f（x）在（0，-$\frac{a+2}{a}$）遞增，在（-$\frac{a+2}{a}$，+∞）遞減；
③a≤-2時(shí)：x=-$\frac{a+2}{a}$＜-1，
∴f′（x）＜0，f（x）在（-1，+∞）單調(diào)遞減；

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，以及分類討論思想，是一道中檔題．