Question

20．π為圓周率，e=2.71828為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．則3^π，π^e，3^e，π³，e³，e^π這6個(gè)數(shù)中的最大值是3^π．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間為（e，+∞）．由e＜3＜π，得ln3^e＜lnπ^e，lne^π＜ln3^π．從而3^e＜π^e＜π³，e³＜e^π＜3^π，由函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$的單調(diào)性質(zhì)，得f（π）＜f（3）＜f（e），由此能求出3^π，π^e，3^e，π³，e³，e^π這6個(gè)數(shù)中的最大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵f（x）=$\frac{lnx}{x}$，∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)f′（x）＞0，即0＜x＜e時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)f′（x）＜0，即x＞e時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間為（e，+∞）．
∵e＜3＜π，
∴eln3＜elnπ，πl(wèi)ne＜πl(wèi)n3，即ln3^e＜lnπ^e，lne^π＜ln3^π．
于是根據(jù)函數(shù)y=lnx，y=e^x，y=π^x在定義域上單調(diào)遞增，可得3^e＜π^e＜π³，e³＜e^π＜3^π，
故這六個(gè)數(shù)的最大數(shù)在π³與3^π之中，
由e＜3＜π及函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$的單調(diào)性質(zhì)，得f（π）＜f（3）＜f（e），
即$\frac{lnπ}{π}$＜$\frac{ln3}{3}$＜$\frac{lne}{e}$，
由$\frac{lnπ}{π}$＜$\frac{ln3}{3}$，得lnπ³＜ln3^π，∴3^π＞π³，
3^π，π^e，3^e，π³，e³，e^π這6個(gè)數(shù)中的最大值是3^π．
故答案為：3^π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用、數(shù)值的大小比較，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力，難度較大．