Question

13．對于函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-ax+3），解答下列問題：
（1）若f（x）的定義域是R，求a的取值范圍；
（2）若f（x）的值域是R，求a的取值范圍；
（3）若f（x）在[-1，+∞）內(nèi)上有意義，求a的取值范圍；
（4）若f（x）的值域是（-∞，-1]，求a的取值范圍；
（5）若f（x）在（-∞，-1]內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）轉(zhuǎn)化為x²-ax+3＞0在R上恒成立，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即可．
（2）判斷得出y=x²-ax+3的圖象不能在x軸上方，即△=a²-12≥0求解．
（3）轉(zhuǎn)化x²-ax+3＞0在[-1，+∞）上恒成立，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得出△＜0或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤-′1}\\{4+a＞0}\end{array}\right.$．
（4）利用復(fù)合函數(shù)性質(zhì)得出：y=x²-ax+3的值域?yàn)閇2，+∞），最小值$\frac{4×1×3-{a}^{2}}{4}$=2，求解即可．
（5）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得出y=x²-ax+3在（-∞，-1]內(nèi)為減函數(shù)，且x²-ax+3＞0在（-∞，-1]恒成立．再利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即可．

解答 解：對于函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-ax+3），
（1）∵f（x）的定義域是R，
∴x²-ax+3＞0在R上恒成立，
即△=a²-12＜0，
得：a∈（-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）
（2）∵f（x）的值域是R，
∴y=x²-ax+3的圖象不能在x軸上方，
即△=a²-12≥0，得：a∈（-∞，-2$\sqrt{3}$）∪（2$\sqrt{3}$，+∞）
（3）∵f（x）在[-1，+∞）內(nèi)上有意義，
∴x²-ax+3＞0在[-1，+∞）上恒成立，
即△＜0或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤-′1}\\{4+a＞0}\end{array}\right.$
得a∈（-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）∪（-4，-2），
（4）∵f（x）的值域是（-∞，-1]，
∴y=x²-ax+3的值域?yàn)閇2，+∞），
$\frac{4×1×3-{a}^{2}}{4}$=2，即a=±2，
故a的取值范圍：a=-2或a=2
（5）∵f（x）在（-∞，-1]內(nèi)為增函數(shù)，
∴y=x²-ax+3在（-∞，-1]內(nèi)為減函數(shù)，且x²-ax+3＞0在（-∞，-1]恒成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≥-1}\\{（-1）^{2}-a（-1）+3＞0}\end{array}\right.$即a≥-2．

點(diǎn)評 本題結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用與二次函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，還考查了二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，但不要忽略了函數(shù)的定義域，