Question

（本題滿分16分） 已知橢圓：的離心率為，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓的焦距為2．
⑴求橢圓的方程；
⑵設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓，當(dāng)圓與橢圓的右準(zhǔn)線有公共點(diǎn)時(shí)，求△面積的最大值．

Answer 1

⑴．⑵ ．

(1)由離心率和b值，不難求出a,從而方程易求。
(2)在（1）的基礎(chǔ)上，可知由于圓與有公共點(diǎn)，所以到 的距離小于或等于圓的半徑．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232157486061084.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
即 ．然后再借助橢圓方程，消y₀轉(zhuǎn)化為求解即可。
解：⑴因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823215748731406.png" style="vertical-align:middle;" />，且，所以．……………………………………2分
所以．………………………………………………………………………………4分
所以橢圓的方程為．……………………………………………………6分
⑵設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823215749245597.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以直線的方程為．………………………………8分
由于圓與有公共點(diǎn)，所以到 的距離小于或等于圓的半徑．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232157486061084.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，………………10分
即 ．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823215749511998.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．…………………………12分
解得，又，∴．……………………………………14分
當(dāng)時(shí)，，所以 ．…………16分