如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．

(Ⅰ)證明：PB∥平面EAC；

(Ⅱ)求證：AE⊥平面PCD；

(Ⅲ)若AD＝AB，試求二面角A－PC－D的正切值；

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)連結(jié)交于，連結(jié)，則，且，

　　又平面，平面，∴PB∥平面EAC．　　　　4分;

　　(Ⅱ)

　　正三角形PAD中，E為PD的中點(diǎn)，所以，，

　　又，所以，AE⊥平面PCD．　　8分;

　　(Ⅲ)在PC上取點(diǎn)M使得．

　　由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD＝AB，所以

　　所以，在等腰直角三角形DPC中，，

　　連接，因?yàn)?I>AE⊥平面PCD，所以，．

　　所以，為二面角A－PC－D的平面角．

　　在中，．

　　即二面角A－PC－D的正切值為　　　　　　　　14分

　　證法二：

　　(Ⅰ)設(shè)N為AD中點(diǎn)，Q為BC中點(diǎn)，則因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0609/0017/1b9a175bd992acd12b203fa05a0c455e/C/Image104.gif" width=14 height=17>PAD是正三角形，底面ABCD是矩形，所以，，，又因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD，所以，，．

　　以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，NA、NQ、NP所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，，則，，，，，．∴，

　　，∴，又平面，

　　平面，∴PB∥平面EAC．　　　　　　　　　　　　　　4分;

　　(Ⅱ)，，，

　　，

　　所以，．

　　又，，所以，AE⊥平面PCD．　　　8分;

　　(Ⅲ)當(dāng)時(shí)，由(2)可知：是平面PDC的法向量；

　　設(shè)平面PAC的法向量為，則，，即

　　，取，可得：．所以，．

　　向量與所成角的余弦值為：．

　　所以，tanq ＝．

　　又由圖可知，二面角A－PC－D的平面角為銳角，所以，二面角A－PC－D的平面角就是向量與所成角的補(bǔ)角．其正切值等于．　　　　　14分


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點(diǎn)E在線段AD上，CE∥AB．
（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，且CD與平面PAD所成的角為45°，求點(diǎn)D到平面PCE的距離．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，AC∩BD=O，PA⊥底面ABCD，OE⊥PC于E．
（1）求證：PC⊥平面BDE；
（2）設(shè)PA=AB=2，求二面角B-PC-D的大�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB和PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）若CD=2PD=2AD=2，四棱錐P-ABCD外接球的表面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=
12
CD=2，PA=2，M，E，F(xiàn)分別是PA，PC，PD的中點(diǎn)．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）證明：PD⊥平面ABEF；
（3）求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案