求證：函數(shù)y=x3在R上為奇函數(shù)且為增函數(shù).

解析：根據(jù)奇函數(shù)的定義以及判斷函數(shù)單調(diào)性的方法去證明．

解：顯然f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，是奇函數(shù)；

    令x1＜x2，則f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22),

    其中，顯然x1-x2＜0，x12+x1x2+x22=(x1+x2)2+x22，由于(x1+x2)2≥0，x22≥0，且不能同時為0，否則x1=x2=0，故(x1+x2)2+x22＞0.從而f(x1)-f(x2)＜0.所以該函數(shù)為增函數(shù).

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知y=f（x）（x∈D，D為此函數(shù)的定義域）同時滿足下列兩個條件：①函數(shù)f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②如果存在區(qū)間[a，b]⊆D，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域為[a，b]，那么稱y=f（x），x∈D為閉函數(shù)．請解答以下問題：
（1）判斷函數(shù)f（x）=1+x-x2（x∈（0，+∞））是否為閉函數(shù)？并說明理由；
（2）求證：函數(shù)y=-x3（x∈[-1，1]）為閉函數(shù)；
（3）若y=k+
x
(k＜0)是閉函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

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（1）判斷函數(shù)f（x）=1+x-x2（x∈（0，+∞））是否為閉函數(shù)？并說明理由；
（2）求證：函數(shù)y=-x3（x∈[-1，1]）為閉函數(shù)；
（3）若y=k+
x
(k＜0)是閉函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年浙江省湖州市菱湖中學高一（上）期中數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知y=f（x）（x∈D，D為此函數(shù)的定義域）同時滿足下列兩個條件：①函數(shù)f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②如果存在區(qū)間[a，b]⊆D，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域為[a，b]，那么稱y=f（x），x∈D為閉函數(shù)．請解答以下問題：
（1）判斷函數(shù)f（x）=1+x-x2（x∈（0，+∞））是否為閉函數(shù)？并說明理由；
（2）求證：函數(shù)y=-x3（x∈[-1，1]）為閉函數(shù)；
（3）若是閉函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年浙江省湖州市菱湖中學高一（上）期中數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

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（1）判斷函數(shù)f（x）=1+x-x2（x∈（0，+∞））是否為閉函數(shù)？并說明理由；
（2）求證：函數(shù)y=-x3（x∈[-1，1]）為閉函數(shù)；
（3）若是閉函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

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