【題目】已知函數(shù)．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，，且存在不相等的實數(shù)，使得，求證且．

【答案】（1）函數(shù)單調(diào)性見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）分別在和兩種情況下討論導(dǎo)函數(shù)的正負，進而得到函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當時，可通過放縮知，知其不符合題意，得到；由和時，可得到，將所證不等式化為，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，進而證得結(jié)論.

（1）由題意得：定義域為，，

令，則，

①當，即時，，，

在上單調(diào)遞增；

②當，即時，

令，解得：，，

當時，，

當和時，；當時，，

在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當時，，在上恒成立，

在上單調(diào)遞增；

綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）由題意得：，則；

當時，，

在上單調(diào)遞增，與存在不相等的實數(shù)使得相矛盾，

.

由得：，

，

不妨設(shè)，

令，則，

在上單調(diào)遞增，，即，

，

，，

欲證，只需證，只需證，

即證，

令，則只需證，即證，

令，

則，

在上單調(diào)遞減，，從而得證，

.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知復(fù)數(shù)滿足，的虛部為2，

（1）求復(fù)數(shù)；

（2）設(shè)在復(fù)平面上對應(yīng)點分別為，求的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在四棱錐的底面中，∥，，平面，是的中點，且

（1）求證：∥平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在線段內(nèi)是否存在點，使得？若存在指出點的位置，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，，，，點在上，且．

（1）點在上，，求證：平面；

（2）若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，為橢圓上一動點（異于左右頂點），面積的最大值為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓相交于點兩點，問軸上是否存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司訂購了一批樹苗，為了檢測這批樹苗是否合格，從中隨機抽測株樹苗的高度，經(jīng)數(shù)據(jù)處理得到如圖1所示的頻率分布直方圖，其中最高的株樹苗的高度的莖葉圖如圖2所示，以這株樹苗的高度的頻率估計整批樹苗高度的概率.

（1）求這批樹苗的高度于米的概率，并求圖中的值；

（2）若從這批樹苗中隨機選取株，記為高度在的樹苗數(shù)量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）若變量滿足且，則稱變量滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，如果這批樹苗的高度近似于正態(tài)分布的概率分布，則認為這批樹苗是合格的，將順利被簽收，否則，公司將拒絕簽收.試問：該批樹苗是否被簽收？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)

（1）時，求過的切線；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）的零點個數(shù)少于個，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】新《水污染防治法》已由中華人民共和國第十二屆全國人民代表大會常務(wù)委員會第二十八次會議于2017年6月27日通過，自2018年1月1日起施行．2018年3月1日，某縣某質(zhì)檢部門隨機抽取了縣域內(nèi)100眼水井，檢測其水質(zhì)總體指標．

羅斯水質(zhì)指數(shù)

02

24

46

68

810

水質(zhì)狀況

腐敗污水

嚴重污染

污染

輕度污染

純凈

（1）求所抽取的100眼水井水質(zhì)總體指標值的樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）．

（2）①由直方圖可以認為，100眼水井水質(zhì)總體指標值服從正態(tài)分布，利用該正態(tài)分布，求落在（5.21，5.99）內(nèi)的概率；

②將頻率視為概率，若某鄉(xiāng)鎮(zhèn)抽查5眼水井的水質(zhì)，記這5眼水井水質(zhì)總體指標值位于（6，10）內(nèi)的井數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

附：①計算得所抽查的這100眼水井總體指標的標準差為；

②若，則，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某大型公司為了切實保障員工的健康安全，貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求，決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次乙肝普查.為此需要抽驗669人的血樣進行化驗，由于人數(shù)較多，檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.

方案一：將每個人的血分別化驗，這時需要驗669次.

方案二：按個人一組進行隨機分組，把從每組個人抽來的血混合在一起進行檢驗，如果每個人的血均為陰性，則驗出的結(jié)果呈陰性，這個人的血就只需檢驗一次（這時認為每個人的血化驗次）；否則，若呈陽性，則需對這個人的血樣再分別進行一次化驗，這時該組個人的血總共需要化驗次.

假設(shè)此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為，且這些人之間的試驗反應(yīng)相互獨立.

（1）設(shè)方案二中，某組個人中每個人的血化驗次數(shù)為，求的分布列.

（2）設(shè)，試比較方案二中，分別取2，3，4時，各需化驗的平均總次數(shù)；并指出在這三種分組情況下，相比方案一，化驗次數(shù)最多可以平均減少多少次？（最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）

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