在銳角△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊依次為a，b，c，設(shè)
m
=（sin（
π
4
-A），1），
n
=（2sin（
π
4
+1），-1），a=2
3
，且
m
•
n
=-
3
2
．
（1）若b=2
2
，求△ABC的面積；
（2）求b+c的最大值．
（1）
m
•
n
=2sin（
π
4
-A）sin（
π
4
+A）-1
=2sin（
π
4
-A）cos（
π
4
-A）-1
=sin（
π
2
-2A）-1=cos2A-1=-
3
2
，
∴cos2A=-
1
2
，…（3分）
∵0＜A＜
π
2
，∴0＜2A＜π，∴2A=
2π
3
，A=
π
3
   …（4分）
設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，由a=2RsinA得2
3
=2R×
3
2
，∴R=2
由b=2RsinB得sinB=
2
2
，又b＜a，∴B=
π
4
，…（5分）
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=
3
2
•
2
2
+
1
2
•
2
2
=
6
+
2
4
，…（6分）
∴△ABC的面積為S=
1
2
absinC=
1
2
•2
3
•2
2
•
6
+
2
4
=3+
3
．…（7分）
（2）解法1：由a2=b2+c2-2bccosA，得b2+c2-bc=12，…（9分）
∴（b+c）2=3bc+12≤3（
b+c
2
）2+12，…（11分）
∴（b+c）2≤48，即b+c≤4
3
，（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)）
從而b+c的最大值為4
3
．…（12分）
解法2：由正弦定理得：
b
sinB
=
c
sinC
=
a
sinA
=
2
3
sin
π
3
=4，又B+C=π-A=
2π
3
，…（8分）
∴b+c=4（sinB+sinC）=4[sinB+sin（
2π
3
-B）]=6sinB+2
3
cosB=4
3
sin（B+
π
6
），…（10分）
∴當(dāng)B+
π
6
=
π
2
，即B=
π
3
時(shí)，b+c取得最大值4
3
．…（12分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在銳角△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足sin22B+sin2BsinB+cos2B=1．
（1）求∠B的值；
（2）若b=3，求a+c的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在銳角△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若acsinC=（a2+c2-b2）sinB，
（1）若∠C=
π
4
，求∠A的大�。�
（2）若三角形為非等腰三角形，求
c
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sinx•sin(
π
2
+x)-2sin2x+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（
x0
2
）=
2
3
，x0∈(-
π
4
，
π
4
)，求cos2x0的值．
（Ⅲ）在銳角△ABC中，三條邊a，b，c對(duì)應(yīng)的內(nèi)角分別為A、B、C，若b=2，C=
5π
12
，且滿足f（
A
2
-
π
8
）=
2
2
，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在銳角△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊依次為a、b、c．設(shè)
m
=（cosA，sinA），
n
=（cosA，-sinA），a=2
3
，且
m
•
n
=
1
2
．
（Ⅰ）若b=2
2
，求△ABC的面積；
（Ⅱ）求b+c的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•眉山一模）在銳角△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊依次為a，b，c，設(shè)
m
=（sin（
π
4
-A），1），
n
=（2sin（
π
4
+1），-1），a=2
3
，且
m
•
n
=-
3
2
．
（1）若b=2
2
，求△ABC的面積；
（2）求b+c的最大值．

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