Question

如圖，已知四邊形 ABCD 是矩形，AB=2BC=2，三角形 PAB 是正三角形，且 平面 ABCD⊥平面 PCD．
（1）若 O 是 CD 的中點，證明：BO⊥PA；
（2）求二面角 B-PA-D 的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過建立空間直角坐標系，利用異面直線的方向向量的夾角即可證明；
（2）利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角的大小．
解答：（1）證明：∵平面 ABCD⊥平面 PCD，平面 ABCD∩平面 PCD=CD，四邊形 ABCD 是矩形．
∴AD⊥平面PCD，BC⊥平面PCD，
在Rt△PDA與在Rt△PBC中，AD=BC，PB=PA，∴PC=PD=．
若 O 是 CD 的中點，OP⊥CD．
．
建立如圖所示的空間直角坐標系，AB=2BC=2．
則O（0，0，0），B（1，0，1），A（-1，0，1），P（0，，0）．
∴，．
∴==0，
∴，∴BO⊥PA．
（2）由（1）可知：．
設(shè)平面BPA的法向量為，
由，得，取y₁=1，則，x₁=0．
∴平面BPA的一個法向量為．
取，設(shè)平面PAD的法向量為．
則，則，取y₂=1，則，z₂=0．
∴．
∴===．
由圖可以看出：二面角 B-PA-D 是一個鈍角，故其余弦值為．
點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系，利用異面直線的方向向量的夾角=0證明異面直線垂直；利用兩個平面的法向量的夾角得出二面角的方法．