Question

3．已知關于x的函數(shù)f（x）=x²+bx+b+a．a，b為實數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞），且不等式f（x）＜c的解集為（t，t+2），求實數(shù)c值；
（2）若任意b∈R，總存在x₁∈r，使得f（x₁）＜0成立，求a的取值范圍；
（3）當b=1時，解不等式f（x）＜a（x²+1）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的值域為[0，+∞），可得△=0，不等式f（x）＜c的解集為（t，t+2），求解c是值．
（2）任意b∈R，總存在x₁∈r，使得f（x₁）＜0成立，即△＞0，分離參數(shù)，轉化為二次函數(shù)問題求解．
（3）當b=1時，化簡f（x），解不等式f（x）＜a（x²+1），對a進行討論可得答案．

解答 解：（1）由題意：函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞），可得△=0，即a+b=$\frac{^{2}}{4}$，那么a=$\frac{^{2}}{4}$-b．
∴f（x）=x²+bx+$\frac{^{2}}{4}$=（x+$\frac{2}$）²
∵f（x）＜c，即$-c＜x+\frac{2}＜c$，
解得：-c-$\frac{2}$＜x＜c-$\frac{2}$
又∵解集為（t，t+2），
可得：$2\sqrt{c}=2$，
∴c=1．
（2）總存在x₁∈r，使得f（x₁）＜0成立，
∴△＞0，即b²-4（a+b）＞0任意b∈R都成立，
∴a＜$\frac{1}{4}^{2}-b$恒成立，
故得：a＜-1．
（3）當b=1時，函數(shù)f（x）=x²+x+1+a
解不等式f（x）＜a（x²+1）可化為：x²+x+1+a＜a（x²+1），
整理可得：（a-1）x²-x-1＞0．
，若a=1，則x＜-1，不等式解集為（-∞，-1）；
若a≠1，則△=4a-3，
當△=4a-3≤0，即$a≤\frac{3}{4}$時，不等式解集為：∅；
當△=4a-3＞0，且a＜1，即$\frac{3}{4}＜a＜1$時，不等式解集為（$\frac{1+\sqrt{4a-3}}{2a-2}$，$\frac{1-\sqrt{4a-3}}{2a-2}$）；
當△=4a-3＞0，且a＞1，即a＞1時，不等式解集為（-∞，$\frac{1-\sqrt{4a-3}}{2a-2}$）∪（$\frac{1+\sqrt{4a-3}}{2a-2}$，+∞）；
綜上可知：當$a≤\frac{3}{4}$時，解集為∅；
當$\frac{3}{4}＜a＜1$時，不等式解集為（$\frac{1+\sqrt{4a-3}}{2a-2}$，$\frac{1-\sqrt{4a-3}}{2a-2}$）；
當a=1時，不等式解集為（-∞，-1）；
當a＞1時，不等式解集為（-∞，$\frac{1-\sqrt{4a-3}}{2a-2}$）∪（$\frac{1+\sqrt{4a-3}}{2a-2}$，+∞）；

點評 本題考查了二次函數(shù)以及不等式的綜合運用能力和二次不等式的討論有解與無解的問題．屬于中檔難題．