Question

1．若f（x+1）為偶函數(shù)，且在[0，+∞）為減函數(shù)，則函數(shù)f（x）圖象的對稱軸為x=1，若實數(shù)a滿足f（a-1）＜f（2a），則實數(shù)a∈[$\frac{1}{2}$，3）∪（-∞，-1）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，利用平移法即可求出函數(shù)的對稱軸，討論變量的范圍，結(jié)合函數(shù)對稱性和單調(diào)性的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：若f（x+1）為偶函數(shù)，
則f（x+1）關(guān)于x=0對稱，
將f（x+1）向右平移1個單位得到f（x），即函數(shù)f（x）關(guān)于x=1對稱，
則f（x）的對稱軸為x=1，
若f（x+1）在[0，+∞）為減函數(shù)，則f（x）在[1，+∞）為減函數(shù)，
在（-∞，1]上是增函數(shù)．
則①若a-1≤1，2a≤1，則a-1＞2a，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a≤\frac{1}{2}}\\{a＜-1}\end{array}\right.$，解得a＜-1，
②若a-1≤1，2a≥1，
則f（2a）=f（2-2a），
則不等式等價為f（a-1）＜f（2-2a），
此時a-1＜2-2a，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a≥\frac{1}{2}}\\{a＜3}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$≤a≤2，
③若a-1≥1，2a≤1，
則f（2a）=f（2-2a），
則不等式等價為f（a-1）＜f（2-2a），
此時a-1＞2-2a，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{a≤\frac{1}{2}}\\{a＞3}\end{array}\right.$，此時無解．
④若a-1≥1，2a≥1，
此時a-1＞2-2a，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{a≥\frac{1}{2}}\\{a＜3}\end{array}\right.$，解得2≤a＜3，
綜上$\frac{1}{2}$≤a＜3或a＜-1，
故答案為：x=1，[$\frac{1}{2}$，3）∪（-∞，-1）

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．