Question

已知函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)，且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1．
（1）求f（9），f（27）的值．
（2）解不等式f（x）-f（x-4）＞1．

Answer 1

分析：（1）采用賦值法，令x=y=3可求得f（9），從而可求得f（27）的值．
（2）利用函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，與f（xy）=f（x）+f（y），將f（x）-f（x-4）＞1轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次不等式，解之即可．

解答：解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，
令x=y=3，則f（3×3）=f（3）+f（3）=2，
即f（9）=2；
再令x=9，y=3得：f（9×3）=f（9）+f（3）=2+1=3，
∴f（27）=3；
（2）∵f（3）=1，f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x）-f（x-4）＞1?f（x）＞f（x-4）+f（3）=f[3（x-4）]=f（3x-12），
∵函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴

x-4＞0 x＞0 x＞3x-12

，解得4＜x＜6．
∴不等式f（x）-f（x-4）＞1的解集為：{x|4＜x＜6}．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查賦值法與函數(shù)的單調(diào)性，考查一元二次不等式的解法，屬于中檔題．