已知向量
a
=(1-tanx,1),
b
=(1+sin2x+cos2x,-3),記f(x)=
a
b

(1)求f(x)的值域及最小正周期;
(2)若f(
α
2
)-f(
α
2
+
π
4
)=
6
,其中α∈(0, 
π
2
)
,求角α.
分析:(1)先利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得函數(shù)的解析式,并化簡,即可求得其值域及其最小正周期.
(2)由f(
α
2
)-f(
α
2
+
π
4
)=
6
,利用兩角和的正弦公式化簡,得sin(α+
π
4
)=
3
2
,結(jié)合α的范圍,解得角α的值.
解答:解:(1)根據(jù)條件可知:
f(x)=(1-tanx)•(1+sin2x+cos2x)-3=
cosx-sinx
cosx
(2cos2x+2sinxcosx)-3
=2(cos2x-sin2x)-3=2cos2x-3
因為f(x)的定義域為{x|x≠kπ+
π
2
, k∈Z}

∴-1<cos2x≤1∴-5<2cos2x-3≤-1
∴f(x)的值域為(-5,-1],f(x)的最小正周期為π.

(2)f(
α
2
)-f(
α
2
+
π
4
)=2cosα-2cos(α+
π
2
)=2(cosα+sinα)=2
2
sin(α+
π
4
)=
6

所以,sin(α+
π
4
)=
3
2
,又因為α∈(0, 
π
2
)
,所以α+
π
4
=
π
3
α+
π
4
=
3

所以α=
π
12
α=
12
點評:本題考查余弦函數(shù)的單調(diào)性,向量的數(shù)量積運(yùn)算,以及三角函數(shù)的化簡求值,在求函數(shù)的值域時注意函數(shù)的定義域,是個中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量
a
=(-1,2),又點A(8,0),B(n,t),C(ksinθ,t)(0≤θ≤
π
2
)

(1)若
AB
a
,且|
AB
|=
5
|
OA
|(O
為坐標(biāo)原點),求向量
OB
;
(2)若向量
AC
與向量
a
共線,當(dāng)k>4,且tsinθ取最大值4時,求
OA
OC

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量 
a
=(1,2),
b
=(cosα,sinα),設(shè)
m
=
a
+t
b
(t為實數(shù)).
(1)若α=
π
4
,求當(dāng)|
m
|取最小值時實數(shù)t的值;
(2)若
a
b
,問:是否存在實數(shù)t,使得向量
a
-
b
和向量
m
的夾角為
π
4
,若存在,請求出t的值;若不存在,請說明理由.
(3)若
a
m
,求實數(shù)t的取值范圍A,并判斷當(dāng)t∈A時函數(shù)f(t)=(t,-3)•(t2,t)的單調(diào)性.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(-1,2),
b
=(1,1),t∈R.
(I)求<
a
,
b
>;  (II)求|
a
+t
b
|的最小值及相應(yīng)的t值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓C:x2+y2=2,坐標(biāo)原點為O.圓C上任意一點A在x軸上的射影為點B,已知向量
OQ
=t
OA
+(1-t)
OB
(t∈R,t≠0)

(1)求動點Q的軌跡E的方程;
(2)當(dāng)t=
2
2
時,過點S(0,-
1
3
)的動直線l交軌跡E于A,B兩點,試問:在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點T,使得以AB為直徑的圓恒過T點?若存在,求出點T的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(1,2),
b
=(cosα,sinα)
,設(shè)
m
=
a
+t
b
(t為實數(shù)).
(1)若
a
b
共線,求tanα的值;
(2)若α=
π
4
,求當(dāng)|
m
|取最小值時實數(shù)t的值.

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